Test cuestionario sobre derivadas - the question form
Preguntas: 16 · 10 minutos
1. Supón que f es derivable e inyectiva, con f(2) = 5 y f′(2) = 4. ¿Cuál es el valor de (f⁻¹)′(5)?
4, porque la inversa tiene la misma derivada que la función original
1/4, porque la derivada de la inversa es el recíproco de f′(2)
1/5, porque la inversa se evalúa en un valor de salida igual a 5
2, porque f asigna la entrada 2 a la salida 5
2. Para f(x) = x⁴ − 4x², ¿qué revela la segunda derivada sobre la gráfica en x = 0?
La gráfica es cóncava hacia arriba en ese punto porque f″(0) = 8.
La gráfica es cóncava hacia abajo en ese punto porque f″(0) = −8.
La gráfica tiene concavidad nula en ese punto porque f″(0) = 0.
La concavidad no puede evaluarse en ese punto porque f′(0) = 0.
3. Un punto se mueve a lo largo del círculo x² + y² = 25. ¿Cuál es la pendiente dy/dx en el punto (3, 4)?
7/2, obtenido al derivar x² + y² como 2x + 2y
3/4, obtenido al omitir el signo negativo después de la derivación implícita
−4/3, obtenido al invertir los papeles de x e y
−3/4, obtenido a partir de dy/dx = −x/y
4. Para g(x) = (3x − 1)⁴, un estudiante escribe g′(x) = 4(3x − 1)³. ¿Qué ajuste se requiere?
Multiplicar por la derivada de la función interna, 3, lo que da 12(3x − 1)³.
Derivar la expresión interna restando 1, lo que da 4(3x − 2)³.
Multiplicar una segunda vez por el exponente original, lo que da 16(3x − 1)³.
Elevar nuevamente la expresión interna a la cuarta potencia, lo que da 4(3x − 1)⁴.
5. Un estudiante afirma que la derivada de x² sin(x) es 2x cos(x). ¿Qué expresión aplica correctamente la regla del producto?
2x sin(x) + x² cos(x), porque en cada término del producto se deriva uno de los factores
2x cos(x), porque se multiplican las derivadas de los dos factores
x² cos(x), porque solo se deriva el factor seno
2x sin(x) − x² cos(x), porque al derivar el seno cambia su signo
6. Una función es continua en [1, 4], derivable en (1, 4) y tiene una tasa de cambio promedio de 6 en [1, 4]. ¿Qué garantiza el teorema del valor medio?
La derivada es igual a 6 en ambos extremos del intervalo cerrado.
El valor de la función es igual a 6 en algún punto interior.
La derivada permanece igual a 6 en todo el intervalo abierto.
Existe al menos un c en (1, 4) para el cual f′(c) = 6.
7. El radio de un círculo aumenta a razón de 0.5 unidades por segundo. ¿Con qué rapidez aumenta su área cuando el radio es de 4 unidades?
2π unidades cuadradas por segundo, obtenido al omitir el radio en la fórmula de la tasa de cambio del área
4π unidades cuadradas por segundo, obtenido a partir de dA/dt = 2πr · dr/dt
8π unidades cuadradas por segundo, obtenido al considerar que la tasa de cambio del radio es de 1 unidad por segundo
16π unidades cuadradas por segundo, obtenido al indicar el área en lugar de su tasa de cambio
8. Usa la aproximación lineal de f(x) = √x en x = 4 para estimar √4.1.
2.0125, usando una pendiente de 1/8 en x = 4
2.05, usando una pendiente de 1/2 en x = 4
2.025, usando L(x) = 2 + (1/4)(x − 4)
2.1, sumando directamente a √4 todo el cambio en la entrada
9. Sea P(x) = x⁵ − 3x² + 7. ¿Cuál es el valor de P′(2)?
68, obtenido a partir de P′(x) = 5x⁴ − 6x
61, obtenido al conservar el término constante mientras se derivan las potencias
74, obtenido a partir de P′(x) = 5x⁴ − 3x
128, obtenido al sustituir 2 en el polinomio original antes de derivar
10. ¿Cuáles son los números críticos de f(x) = x³ − 3x?
Solo x = 0, porque el término cúbico se anula allí
Solo x = 1, porque solo se considera la raíz cuadrada positiva
x = −1 y x = 1, porque f′(x) = 3x² − 3 es igual a cero en ambos valores
x = −3 y x = 3, porque el coeficiente de x es −3
11. ¿Qué afirmación describe mejor f′(a) cuando existe la derivada?
Es la tasa de cambio instantánea en x = a y la pendiente de la recta tangente en ese punto.
Es el área con signo acumulada entre la gráfica y el eje x desde 0 hasta a.
Es el valor promedio de la función en un intervalo que contiene a.
Es la coordenada x en la que la función alcanza su valor máximo.
12. ¿Qué derivada se obtiene al aplicar la regla de la cadena a h(x) = e^(2x+1)?
e^(2x+1), sin ningún factor proveniente del exponente
e^(2x+1) + 2, sumando la derivada de la función interna
2e^(2x+1), multiplicando por la derivada de la función interna
(2x + 1)e^(2x), tratando el exponente como un producto
13. Una partícula tiene la posición s(t) = t³ − 6t² + 9t. ¿Cuál es su velocidad instantánea en t = 2?
−4 unidades por unidad de tiempo, obtenido al derivar el término cuadrático como −6t
−5 unidades por unidad de tiempo, obtenido al usar el valor de la posición s(2) como velocidad
−3 unidades por unidad de tiempo, obtenido al evaluar v(t) = 3t² − 12t + 9
3 unidades por unidad de tiempo, obtenido al descartar el término intermedio negativo
14. La curva y = x² − 4x tiene una recta tangente en x = 3. ¿Cuál es la pendiente de esa recta tangente?
6, obtenido al derivar x² pero no −4x
3, igual a la coordenada x del punto de tangencia
5, igual al valor de la función en x = 3
2, obtenido al evaluar 2x − 4 en x = 3
15. ¿Por qué f(x) = |x| no tiene derivada en x = 0?
La función es discontinua en cero, por lo que no se puede considerar una pendiente tangente.
El valor de la función es cero, lo que obliga a que la derivada sea cero.
La pendiente por la derecha es 1, por lo que la derivada debe ser igual a 1.
La pendiente por la izquierda es −1 y la pendiente por la derecha es 1, por lo que las derivadas laterales no coinciden.
16. Para x > 0, ¿qué expresión es la derivada de f(x) = ln(x)/x?
1/x², obtenido al derivar por separado el numerador y el denominador
(1 − ln(x))/x², obtenido al aplicar la regla del cociente
(x − ln(x))/x², obtenido al usar 1 como la derivada de ln(x)
ln(x) − 1, obtenido al cancelar el denominador después de derivar